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我们先来看一下题:

某飞机的零部件由甲乙两种金属混合而成,甲乙按质量比2:1混合所得的合金密度,与甲乙按体积比3:4混合所得的合金密度相等。求甲乙金属的密度比。

1、数学思维解法

这道题运用到方程思想。方程思想是数学中经常用到的方法之一。其实质就是根据题意,找到等量关系,列出方程,进行求解,得出结论。它就是把实际问题转化成数学问题。

我们来看一下这道题的解法。核心就是根据两种方式所得合金的密度相等列一个方程。

根据题意,按质量比所得的密度ρ1等于按体积比所得的密度:ρ1=ρ2.

我们再将ρ1和ρ2分别表示出来:

列出方程

列出方程,然后解方程可得:ρ甲:ρ乙=1:1,或ρ甲:ρ乙=8:3.

解方程的过程比较麻烦,需要对里面的字母进行处理,构造出ρ甲:ρ乙的形式,而且是个一元二次方程,所以对八年级学生来说,难度是比较大的。

通过计算,得到两个情况,我们来分析两种情况:

(1)甲乙密度相同,其实,在这种情况下,甲乙不论以任何质量比混合,或者,以任何体积比混合,那么所得的混合物的密度都是相同的。因为不同种类的金属它的密度是不同的,所以这种情况一般不予考虑。

(2)甲乙密度比为8:3,是符合实际情况的结论。

2、物理思维解法

运用物理思维,其实就是对各物理量之间的关系有一个清楚的认识。

本题中,应用到的一个物理关系就是:

甲乙两种物质混合,那么所得混合物的密度,与甲乙的质量比、体积比是一一对应的。

也就是说,混合物的密度、甲乙的质量比、甲乙的体积比,其中一个确定,那么另外两个也是唯一的确定值,而且是相对应的。它们和混合物的总质量,总体积没有实质的关系。

我们来证明一下这个关系。

这就说明,当两者密度相同时,按质量比混合物中,甲乙的体积比,就是后者的体积比;同理,按体积比混合物中,甲乙的质量比就是前者的质量比。

在按质量比中,设甲的质量为2m,那么对应的体积就是3v;乙的质量为1m,对应的体积就是4v,

比较两种方法,我们可以看到,数学思维的方法,逻辑简单,只要理解基本的公式,就可以解题,但过程比较麻烦。同时 ,得出的结果更全面,可以解出特殊情况。而物理思维的方法,需要清楚地了解物理量之间的关系,需要更深刻的物理知识,但计算却十分简洁,不会出错。

扩展

接下来,我们可以扩展一下,若前后的密度不同,又会有怎样的情况呢?

数学思维方法

前后密度不同,并不会影响数学解题的逻辑过程,只是方程里的数字发生了变化而已。

但是对于物理思维的方法,却发生了变化。

因为质量比和体积比是通过密度建立关系的。当两者密度相等时,质量比中的体积比与后者的体积比相等。这道题就简化成了,甲乙混合物中,甲乙的质量比为2:1,体积比为3:4,求甲乙的密度比。而当两者密度不相等时,虽然密度、质量比、体积比之间是确定的关系,但质量比中的体积比就不同于后者的体积比,而要想确立质量比中甲乙的体积比,就异常困难,通过物理思维就很难求解了。

因此,我认为,在这里,物理思维的方法只是适用于特例的投机取巧,而数学思维的方法更具有普适性,可以解决更复杂的问题。